Estudio detallado de la definición matemática de la realidad por parte de la corriente filosófica pitagórica desarrollada entre los siglos VI y V a.C.
¿Por qué las matemáticas?
Uno de los momentos más fascinantes del desarrollo de la filosofía presocrática fue la brillante idea introducida por los presocráticos de definir el mundo desde un punto de vista matemático.
No obstante, en este punto cabe preguntarse por qué los pitagóricos quedaron tan maravillados con las matemáticas y por qué las eligieron como fundamento de la realidad.
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El entusiasmo parece que comenzó con el descubrimiento de los intervalos musicales. Pitágoras observó que la división de una cuerda según determinadas proporciones matemáticas producía tonos armónicos. Los intervalos básicos de la música griega podían representarse mediante las razones 1/2, 3/2 y 4/3. Este descubrimiento encendió un chispazo de inspirada intuición hacia una fórmula de aplicación universal: «si los números son la clave de los sonidos musicales, ¿no serán también la clave de toda la naturaleza?». Los pitagóricos vivieron imbuidos de un efervescente entusiasmo místico hacia los números.
Para los pitagóricos el gran sistema del mundo reposa sobre ciertas bases de las que el ser, la forma y la acción de todas las cosas, tanto las particulares como las generales, son una consecuencia natural de la consideración de los números. Quien conoce sus propiedades y sus mutuas relaciones, conoce las leyes merced a las cuales la naturaleza existe. Al igual que quien conoce las proporciones musicales sabe, antes de tener que oírlo, el sonido que producirá el instrumento. Los números determinan el nexo de unión de todas las cosas y la mecánica del universo entero, son la base del espíritu y el único medio por el cual se manifiesta la realidad.
La primera investigación matemática abstracta: la demostración
Los pitagóricos soñaban con poder captar la esencia del mismo bajo la forma de números enteros, imaginándose estar tras las huellas del misterio último de las cosas. En su camino, marcaron un hito en la historia del pensamiento occidental al transformar la geometría en saber puramente teórico e investigar los teoremas de forma abstracta, es decir, de manera discursiva e intelectual, trascendiendo el empirismo y situándose en el umbral de la matemática racional como artífice supremo del «milagro griego en matemáticas», en cuyo ámbito la idea y la necesidad de la demostración es uno de los componentes capitales del patrimonio pitagórico. Este sabio fue el primero en someter la matemática a la exigencia de la rigurosa deducción lógica, que generación tras generación, se hizo cada vez más imperiosa.
He aquí pues, en la demostración, la contribución fundamental del Pitagorismo a la matemática, considerada, además, como elemento esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega. La demostración va mucho más allá de la mera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero (de ahí los reproches de Sócrates hacia los sofistas). La demostración convence por la ilación argumental incontrovertible que alcanza algo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la lógica. Por eso a partir de Pitágoras la matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva.
Aritmología
Los pitagóricos denominaron Década a los diez primeros números y en la consideración de sus propiedades místicas desarrollaron, más allá de la Aritmética, un misticismo numérico, una Aritmología (la palabra número deriva del término griego «Aritmo») al establecer que cada número poseía sus propios atributos especiales que le dotaban de ciertas propiedades vitales.
El Número 5 tenía un gran simbolismo para los pitagóricos, como conjunción de los principios masculino y femenino. Además, cinco son los sólidos poliedros regulares (tetraedro, octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro), conocidos más tarde por el nombre de Cuerpos Platónicos al ser tomados por Platón de los pitagóricos.
El número 5 corresponde al Pentagrama místico pitagórico, Pentalfa, o estrella de cinco puntas –obtenida al trazar las diagonales de un pentágono regular o prolongando sus lados– emblema de la salud y símbolo de identificación de los pitagóricos como miembros de una comunidad. Esta figura geométrica pudo estuvo, sin embargo, en la base del más importante hallazgo matemáticode los pitagóricos –el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables–, una de las causas de la profunda crisis que arruinó a la secta pitagórica, como veremos más adelante.
El Número 10 es el de mayor carga simbólica y el más sagrado de todos los números. La década, o tetractys abarca «la naturaleza toda del número», es en sí «algo perfecto», y representa el número del universo, la suma de todas las posibles dimensiones geométricas. Para Filolao la Década era «grande, todopoderosa y generadora de todo, comienzo y guía tanto de la vida divina como de la terrestre» y para Sexto Empírico «la razón de la composición de todas las cosas.» El anagrama de la tetractys tenía tanta signficación esotérica que juraban sobre él en sus ceremonias más solemnes y en el rito de incorporación a la comunidad.
La cosmología pitagórica
La veneración hacia el número diez tiene para los pitagóricos una implicación cosmológica transcendental en su doctrina acerca de la configuración del universo, al ser la inspiradora del primer sistema astronómico no geocéntrico. Debemos a los pitagórico el primer modelo planetario que no tiene a la tierra en el centro. Idea recuperada posteriormente por Aristarco de Samos y finalmente por Copérnico.
Ocho cuerpos celestes: la tierra, la luna, el sol y los cinco planetas conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno), giran en órbitas circulares concéntricas en torno al fuego central –«Trono de Zeus»–, situado en el centro del universo. Con la esfera de las estrellas fijas se llega al valor nueve. Como falta uno para alcanzar el valor diez de la Tetractys, emblema sagrado de los pitagóricos, se añade al sistema –«de modo que toda su teoría fuera coherente»–, como dice Aristóteles, la antitierra, situada en la órbita más interior, en equilibrio con la tierra, alineada con ésta y con el fuego central y con el mismo período de revolución diaria que ella. El sol no era el centro del universo, ni era el creador de su propio calor, sino que era una especie de cristal reflector que recogía la luz y el calor del fuego central, en torno al cual giraba con un período de un año. Las estrellas fijas permanecían estacionarias, mientras que la tierra mantenía, durante su movimiento, el mismo hemisferio deshabitado hacia el fuego central de modo que sus habitantes no podían ver jamás ni el fuego central ni la anti-tierra. Al desplazar a la tierra del centro del universo, la cosmología pitagórica supone un heroico salto de imaginación científica. No se trata de una mera fantasía arbitraria. De hecho el sistema proporcionaba una explicación plausible de los eclipses.
El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables: el fin del pitagorismo
La grandeza sublime del Teorema de Pitágoras y la mágica belleza del Pentagrama místico pitagórico fueron, sin embargo, dos caballos de Troya para la geometría y la filosofía pitagórica, porque llevaban en su interior el germen de la profunda crisis de la escuela que acabaría desmoronándola.
Los pitagóricos, como filósofos presocráticos griegos, habían considerado como núcleo dogmático de su filosofía que «los números son la esencia del universo», encuentran que las consecuencias de su teorema atentan contra los fundamentos de su doctrina, que les había llevado a establecer un paralelismo entre el concepto numérico y la representación geométrica.
La irracionalidad y lo incognoscible
La matemática, la herramienta sublime que los pitagóricos habían propuesto para explicar el cosmos albergaba en su interior un oscuro secreto, su incapacidad de explicar con sencillez y precisión la realidad. De nuevo volvía a aparecer el fantasma de la incognoscibilidad que había advertido Anaxímenes y que había intentando ahuyentar con el agua.
En su seno, más allá de la mirada ingenua del álgebra simple de contar manzanas, anidaba la irracionalidad. El concepto más denostado por los filósofos griegos. El infinito incognoscible e inalcanzable por la mente humana. Lo infinito es inaprehensible, escapa a nuestras fuerzas y nos obliga a admitir la horrible conclusión de que no podemos conocer con certeza el mundo. Que nuestras verdades, en realidad, son meras aproximaciones, opiniones. Que apenas tocamos la superficie de una honda profundidad de lo real. Sorprendentemente en la crisis que acabaría con la escuela pitagórica yace una profunda lección filosófica que hallaremos en su máximo esplendor en el periodo clásico con Sócrates: no hay verdades últimas ni definitivas para el hombre.
La maldición de lo irracional
La sacudida que la aparición del nuevo ente provocó en la matemática griega puede calibrarse por la leyenda apocalíptica que relata un viejo escolio (atribuido a Proclo) del Libro X de Los Elementos de Euclides.
El descubrimiento de la inconmensurabilidad marca un hito en la historia del pensamiento, porque no es algo empírico, sino puramente teórico. La tempestad provocada por el descubrimiento pitagórico de los irracionales precipitó la primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemática, propiciando «el horror al infinito», que caracteriza casi toda la filosofía griega posterior.