Aristóteles: el infinito

Actualizado: 17 de mar de 2019

Descripción detallada de la teoría aristotélica del infinito




EL INFINITO EN LA FILOSOFÍA DE ARISTÓTELES



Aristóteles aborda el estudio del infinito en el libro III de la Física bajo el pretexto de que su examen es una de las tareas obligatorias que debe llevar a cabo el físico.

En este sentido, dado que la ciencia de la naturaleza estudia las magnitudes, el movimiento y el tiempo, y que de estas tres cosas se predica la infinitud en distintos sentidos, el físico no puede obviar el análisis del infinito puesto que afecta a los tres elementos constitutivos y definitorios del mundo natural aristotélico.


Siendo ésta la razón capital por la cual el Estagirita considera necesario el estudio del infinito aporta, sin embargo, otro motivo que le permite adentrarse en la refutación de las teorías de los físicos que le precedieron.

Así, según Aristóteles todos los pensadores anteriores han hablado sobre el infinito, siendo característica común entre ellos bien el haberlo considerado como principio de las cosas–entendiéndolo por tanto como algo ilimitado, ingenerable e indestructible– o bien considerando como tal principio a una naturaleza sustancial a la que atribuyen como determinación accidental la infinitud.



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Dificultades en el estudio del infinito


Como podremos ver a lo largo de la exposición que se realiza a continuación, para el Estagirita el estudio del infinito plantea numerosas dificultades.


Por un lado, su existencia no puede ser negada dado que implicaría la aceptación de un comienzo temporal del cosmos, el rechazo de la divisibilidad de las magnitudes y la negación de la infinitud del número, pero tampoco puede ser afirmada sin más debido a que tendría graves consecuencias ontológicas para el sistema y para la propia ciencia física.


Por tanto, es necesario tener en cuenta que Aristóteles no rechaza de modo tajante la existencia del infinito sino que procura dibujar para él un tipo de existencia particular dentro de su concepción cosmológica.


Rechazo de la existencia autónoma del infinito



Ante la defensa inamovible de la finitud esencial del cosmos que Aristóteles desallora en su teoría física, resulta evidente que su primer acercamiento al estudio del infinito va a consistir en un intento de refutar toda teoría que defienda que el infinito sea algo en sí mismo, restringiendo al máximo su presencia en la naturaleza.


Según Aristóteles, la creencia común en la realidad del infinito se deriva principalmente de cinco razones:

a) de la infinitud del tiempo,


b) de la división infinita de las magnitudes de la que hacen uso los matemáticos,


c) de la constatación de que si hay una generación y destrucción incesantes es sólo porque aquello desde lo cual las cosas llegan a ser es infinito


y d) del hecho de que lo finito encuentra siempre su límite en algo de suerte que si una cosa está siempre necesariamente limitada por otra, entonces no podrá haber límites últimos.


Sin embargo, la razón principal y más poderosa que sostiene la creencia en el infinito se debe, según Aristóteles, al hecho de que el ser humano no encuentra nunca término en su pensamiento.


Esta ausencia de límites hace que los hombres consideren no sólo que el número es infinito sino también las magnitudes matemáticas y lo que está fuera del cielo. Y al considerar infinito lo que está fuera del cielo piensan que existe también un cuerpo infinito y un número infinito de mundos.


De ahí que se crea, como consecuencia, que si hay masa en alguna parte tiene que haberla en todas partes y si hay un vacío y un lugar infinitos tendrá que haber también un cuerpo infinito porque en las cosas eternas no hay ninguna diferencia entre poder ser y ser.


Las razones que apelan a la generación, al contacto y a la tendencia errónea del pensamiento humano son refutadas rápidamente.


En primer lugar, para no impedir la generación no es necesario que haya un cuerpo sensible que sea actualmente infinito porque siendo el universo finito la destrucción de una cosa puede ser la generación de la otra.


Es decir, dado que la generación absoluta es rechazada dentro de la física aristotélica y se acepta la eternidad del sustrato subyacente, no es necesario postular un infinito a partir del cual surja la materia. Los procesos constantes de información del sustrato y su posterior disgregación pueden explicarse de modo suficiente sin tener que apelar a un supuesto fondo infinito primordial.


En segundo lugar, “estar en contacto” y “ser finito” son cosas distintas. Estar en contacto es estar en relación a algo y es con algo y además debe ser considerado como un accidente de algo finito. Pero las cosas finitas, como es el caso del universo, no son finitas por estar en relación o en contacto con otra cosa ya que, de hecho, no puede haber contacto entre cosas cualesquiera tomadas al azar. Respecto al universo, es evidente que es finito pero que al mismo tiempo sus límites no necesitan estar en contacto con nada (DC.I 9, 279a6-18).


Finalmente, Aristóteles advierte que es absurdo tomar como único criterio de verdad las conclusiones del pensamiento pues esta actitud puede llevar a confundir y tergiversar seriamente la realidad de las cosas. El filósofo griego subraya que el exceso o el defecto no está en las cosas sino en el pensamiento humano, en el sentido de que podemos imaginar algo infinito aunque ello de hecho no se de en la realidad.



El infinito como sustancia



Una vez despejados los problemas más sencillos, Aristóteles comienza la primera refutación compleja del infinito en la cual rechaza cualquier posibilidad de que éste sea considerado una sustancia. Según el Estagirita, es imposible que lo infinito sea separable de las cosas sensibles y sea algo en sí mismo infinito (Fís.III 5, 204a7). Si lo infinito mismo no fuera una magnitud ni una pluralidad, es decir, si no fuera un atributo sino una sustancia entonces, necesariamente, debería ser indivisible porque divisible sólo lo es la magnitud o una pluralidad (Met.V 13, 1020a10). Pero si es indivisible no es infinito porque lo infinito necesariamente debe ser entendido como cantidad.


Es decir, según Aristóteles no es posible que lo infinito exista como un ser en acto o como una sustancia porque cualquier parte que se tomara de ese infinito sería infinita. Si lo infinito fuera una sustancia, y si cada cosa es idéntica a su esencia, cada parte de lo infinito tendría la propiedad de la infinitud y sería por tanto divisible. Pero no se puede sostener, al mismo tiempo, que el infinito es sustancia y que es divisible. Luego, si lo infinito es sustancia tiene que carecer de partes y ser indivisible. Pero es imposible que un infinito actual sea indivisible porque tiene que ser infinito en cantidad y toda cantidad es, por definición, aquello que es divisible en partes internas cada una de las cuales son algo uno y determinado (Met. V 13, 1020a8-9). Por tanto, lo infinito no puede existir como sustancia sino sólo como atributo.




El infinito como atributo



Si el infinito es considerado, en una segunda formulación, como “lo que no puede ser recorrido”, es decir, si existe sólo como atributo, entonces nunca podrá ser, en tanto que infinito, un elemento constitutivo de las cosas ni ser considerado en sí mismo principio de las mismas pues “principio” se le llamará a aquello de lo cual el infinito es atributo (Fís.III 5, 203b15-17) .

Aristóteles añade a ello que si el infinito es de suyo una propiedad del número y de la magnitud, que son a su vez atributos de la sustancia, y no existen ni el número mismo ni la magnitud misma, dado que ambos son atributos de la sustancia a los que no les es posible una existencia separada, cabe preguntarse cómo sería posible que existiera el infinito en sí mismo siendo éste la propiedad de un atributo. La necesidad de que exista algo como “el infinito mismo” es aún menor que la necesidad de que exista la magnitud en sí (Fís.III 5, 203b18-19).




Un cuerpo infinito



Hasta aquí Aristóteles refuta las dos primeras opciones, la que definía el infinito como algo en sí mismo separable de las cosas –como sustancia–, y aquella que lo concebía como elemento constitutivo de las cosas o como principio de las mismas. Queda por averiguar si es posible que haya alguna sustancia, algún cuerpo natural, del cual se pueda predicar el infinito en algún sentido. Ante esta cuestión caben dos posibilidades: la existencia de un cuerpo infinito por aumento o la existencia de un cuerpo infinito por división

Para refutar la posibilidad de hablar de un cuerpo infinito por aumento Aristóteles apela a la definición de cuerpo entendido como aquello que “está limitado por una superficie” (Fís.III 5, 204b6).


De esta definición se sigue que no puede haber un cuerpo ni inteligible ni sensible que sea infinito por aumento. Si el cuerpo tiene una magnitud, esta magnitud, por definición, ha de ser mensurable, pero para que algo sea mensurable debe ser necesariamente finito (Fís.III 5, 204b5-6). Tampoco puede haber, según Aristóteles, un número infinito separado ya que un número, o lo que tiene de número, es numerable y si fuese posible numerar lo que es numerable entonces sería posible recorrer el infinito (Fís.III 5, 204b7-9). Pero el infinito ha sido definido como aquello que no puede ser recorrido y por tanto aquello que no puede ser numerado.


La imposibilidad de afirmar la existencia de un cuerpo infinito es reiterada por Aristóteles en la demostración de que dicho cuerpo no podría ser ni simple (Fís.III 5, 204b22-24) ni compuesto (Fís.III 5, 204b13-2). No es posible que exista un cuerpo infinito compuesto si el número de elementos es finito y este punto ha quedado claramente demostrado en el apartado anterior.


Si existiera un cuerpo compuesto infinito sus elementos constituyentes deberían ser igualmente infinitos. De ello se seguiría que el cuerpo tendría una extensión infinita en todas las direcciones del espacio hasta el infinito. Pero si un cuerpo es algo limitado por definición, y si no es posible que haya un número infinito de partes en una magnitud finita, tampoco será posible hablar de un cuerpo formado por un número infinito de partes. En definitiva, si no es posible afirmar un número infinito de elementos sin que ello implique situaciones imposibles para el cosmos aristotélico, entonces tampoco se podrá afirmar la existencia de un cuerpo compuesto infinito.


No es posible tampoco sostener la existencia de un cuerpo infinito que sea uno y simple, ni como algo que exista aparte de los elementos y de lo cual éstos se hayan generado, ni tomado en un sentido absoluto (Fís.III 5, 204b23-24).

No puede ser algo aparte de los elementos porque toda cosa, según la física aristotélica, se resuelve en aquello de lo cual está hecha, de tal modo que dicho cuerpo tendría que existir aparte de los elementos y no estar constituido por ellos. Pero no existe, según Aristóteles, ninguna exigencia racional para postular la existencia de dicho cuerpo y tampoco se ha observado alguna vez tal existencia. En este sentido, dado que no hay nada fuera de los elementos y que todos los cuerpos físicos están compuestos por ellos tampoco podrá haber un cuerpo simple infinito del cual todos los elementos hayan surgido y que sea separado o separable.


Por otro lado, no puede haber un cuerpo simple infinito en sentido absoluto porque ninguno de los elementos puede ser infinito y es imposible que el Todo, aunque sea finito, llegue a ser uno de los elementos. Ninguno de los elementos puede ser infinito ni ser el Todo porque, como ya hemos explicado anteriormente, anularía a su contrario de tal forma que el movimiento –definido, en una de sus acepciones, como cambio de contrario a contrario– quedaría cancelado (Fís.III 5, 205a1-9).


La refutación de la existencia de un cuerpo sensible infinito es abordada por Aristóteles también desde el punto de vista de la noción de lugar. Así, si todo cuerpo sensible está por naturaleza en algún lugar y hay un lugar propio para cada cuerpo, –el mismo para el todo y para una parte suya– sólo caben dos alternativas explicativas.


La primera consiste en sostener que dicho cuerpo infinito sensible es homogéneo. Si fuera así, dicho cuerpo estaría siempre en movimiento respecto al lugar o sería inmóvil. Pero esto resulta imposible porque no habría forma de determinar la dirección de su movimiento ni dónde estará en reposo. Si el cuerpo en cuestión fuera infinito entonces ocuparía un lugar total de tal modo que no sería posible determinar dónde estará su movimiento y su reposo, si permanecerá en reposo en todas sus partes o se moverá en todas sus partes sin detenerse jamás. Es decir, dicho cuerpo infinito violaría la necesaria tendencia de todo cuerpo sensible de, por un lado, poseer un lugar natural y, por el otro, moverse hacia él en los casos en los cuales fuese desplazado del mismo.

La segunda posibilidad postula que dicho cuerpo sensible infinito no fuera homogéneo en sus partes.


Pero si ello fuera así, tampoco sus lugares serían homogéneos, de tal modo que el cuerpo del Todo no tendría más unidad que la del contacto. Además, aparecería la dificultad de determinar si las partes de dicho cuerpo son finitas o infinitas. No sería posible que fuesen finitas porque si el Todo ha de ser infinito algunas de sus partes serían infinitas, pero ello implicaría, de nuevo, la destrucción de los contrarios y con ellos la aniquilación del cambio.


Por el contrario, si las partes fuesen infinitas y simples sus lugares también serían infinitos y los elementos serían igualmente infinitos, cosa que ha sido ya demostrada como imposible. Si los lugares fuesen finitos, el cuerpo de ese Todo debería ser infinito porque es imposible que no se correspondan el lugar y el cuerpo, ya que ni el lugar en su integridad es más grande de lo que pueda serlo el cuerpo –entonces el cuerpo no será infinito–, ni tampoco el cuerpo puede ser más grande que el lugar. De lo contrario, o bien habría un vacío o bien habría que afirmar la existencia de un cuerpo que por naturaleza no estaría en ninguna parte.


Por tanto, es imposible afirmar que existe un cuerpo infinito y que, al mismo tiempo, cada cuerpo posee un lugar propio si se da por supuesto que todo cuerpo sensible es pesado o ligero y que lo pesado se mueve por naturaleza hacia el centro y lo ligero hacia las esferas. Un cuerpo infinito tendría que comportarse dinámicamente de la misma forma. Pero es imposible que sea ligero o pesado en su totalidad o que una de sus magnitudes experimente alguno de estos desplazamientos mientras que otra dibuje un movimiento distinto puesto que no se puede dividir y, por ello, explicar cómo una parte de lo que es infinito pudiera estar arriba o la otra abajo o una en el extremo y la otra en el centro.


Todo cuerpo sensible (Fís.III 5, 204a34-204b4) necesariamente está en un lugar (Fís.IV 1, 208b27) y las especies y diferencias del lugar, que son arriba, abajo, delante, detrás, derecha e izquierda (Fís.IV 1, 208a12-16), no sólo se establecen respecto de nosotros y por convención, sino también en el Todo mismo. Pero en un cuerpo infinito no pueden existir tales distinciones porque este cuerpo ocuparía la totalidad del espacio localizándose al mismo tiempo arriba y abajo, a la derecha y a la izquierda.


Por tanto, si es imposible que haya un lugar infinito y si todo cuerpo está en un lugar, es imposible que haya un cuerpo infinito. Además lo que está en alguna parte está en un lugar y lo que está en un lugar está en alguna parte. Luego si el infinito no puede ser una cantidad –pues sería una cantidad determinada–, no podrá estar en un lugar. La razón de esta imposibilidad radica en el hecho de que “estar en un lugar” significa permanecer en alguna de las seis direcciones del espacio. Pero cada una de estas direcciones es un límite (Fís.IV 2, 209b2-5) de tal forma que lo ilimitado estaría limitado. Esta contradicción lleva a negar, por tanto, toda posibilidad de afirmar la existencia de un cuerpo que sea actualmente infinito.


Tras ese análisis, Aristóteles concluye que el infinito, finalmente, resulta ser lo contrario de lo que se nos dice que es, pues el infinito no es aquello fuera de lo cual no hay nada, sino más bien aquello fuera de lo cual siempre hay algo (Fís.III 6,207a1-7). Y aquello fuera de lo cual hay algo ausente no es un todo, pues el todo se define como aquello a lo que nada le falta (Met. V 26, 1023b25), tanto en los casos particulares como en sentido estricto. Además, según Aristóteles, nada es completo si no tiene un fin y el fin es un límite. Por tanto, lo caracterizado por definición como ilimitado no puede ser algo completo. Es simplemente, según Aristóteles, por su semejanza con el Todo por lo que los físicos anteriores han concedido al infinito la dignidad de abarcar todas las cosas y tener en sí mismo al conjunto de la realidad.


Sin embargo, siguiendo la argumentación, hay que concebir al infinito más bien como una parte que como un todo, ya que la materia es una parte del todo. Y ello porque si el infinito abarcase todas las cosas sensibles, lo grande y lo pequeño tendrían que abarcar también las cosas inteligibles. Pero resulta absurdo e imposible que lo infinito, que es incognoscible e ilimitado, pueda abarcar y determinar.


Ni puede poner límites a lo sensible porque es ilimitado, ni puede determinar lo inteligible porque es esencialmente incognoscible.

A pesar de haber declarado imposible, mediante las refutaciones que acabamos de estudiar, la existencia de un cuerpo sensible infinito, Aristóteles advierte que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles, como el comienzo y el fin temporal del cosmos, la indivisibilidad de las magnitudes y la negación de la infinitud del tiempo. Por tanto, si bien no hay entes –compuestos materiales– de los cuales se pueda predicar infinitud dentro de la naturaleza, es necesario aclarar por qué la existencia del infinito no puede ser negada de modo absoluto y cuál es el modo peculiar del ser de este infinito.



La apuesta de Aristóteles consiste en defender una particular existencia potencial que, sin embargo, no debe ser entendida en el sentido en que se dice “esto es potencialmente una estatua y después será una estatua” pues, como ya se ha mostrado anteriormente, es imposible la actualización del infinito. Apelando a los distintos sentidos de “ser”, el Estagirita aclara que el infinito no debe tomarse como un individuo particular, no en el sentido de que su ser es como el de algo que llega a ser una sustancia, sino que está siempre en generación y destrucción, siendo cada una de sus partes siempre finita y diferente.

Definida ya esta característica existencia potencial nunca actualizable, Aristóteles diferencia entre dos tipos de infinitos: el infinito por aumento –que se da en el número–, y el infinito por división –presente en las magnitudes–.



En lo que se refiere a las magnitudes no hay un infinito por adición que sea tal que pueda superar toda magnitud, sin embargo en la división puede haberlo y ello porque toda magnitud, al ser divisible, puede ser superada siempre en la dirección de lo más pequeño. Es decir, según Aristóteles, el hecho de que sea posible dividir sin término una magnitud no implica que esta deba concebirse como infinitamente extensa, sino que toda magnitud extensa es virtualmente divisible reiteradamente en partes que presentan la misma naturaleza que el todo. Por tanto, si en una magnitud finita tomamos una cantidad determinada y luego otra en la misma proporción, pero no en la misma cantidad del todo inicial, el proceso puede continuarse sin término.


Es decir, no será posible recorrer la magnitud finita, incluso si se tomara como punto de partida la magnitud extensa más pequeña, siempre que la división se lleve a cabo según la regla de no dividir el total en partes iguales sino según una proporción constante el residuo obtenido en cada caso (Fís.III 6, 206a33-b1; 206b12-16.). En cambio, si las cantidades tomadas de la magnitud finita son siempre iguales entonces es posible recorrerla, porque toda magnitud finita puede ser agotada mediante la sustracción de una cantidad determinada.


En este punto podría pensarse que la negación aristotélica de la infinitud es errónea porque se nos ha revelado en la división. Sin embargo, si se analiza con más atención este problema, es posible advertir que en este caso la infinitud no es una propiedad de la magnitud sino una propiedad que se revela cuando la magnitud es sometida a un proceso de división en la medida en que cada paso del proceso deja siempre abierta la posibilidad de reiterar la acción de división ejecutada en dicho paso. Es decir, en cada división se actualiza la potencia de ser divisible de las magnitudes. Pero la posibilidad de seguir aplicando una y otra vez el proceso muestra que la potencia de la divisibilidad nunca se actualiza totalmente de tal modo que se llegue a un punto indivisible.


Sin embargo, cuando se procede hacia lo más grande –es decir, cuando se ejecutan adiciones a una cantidad determinada– en el caso de las magnitudes no hay una magnitud infinita. Lo que es continuo puede dividirse hasta el infinito, pero no es posible una multiplicación infinita si se procede hacia lo más grande. La razón de esta imposibilidad estriba en una afirmación aristotélica clave, a saber, el hecho de que las cantidades y magnitudes que pueden ser potencialmente también pueden ser actualmente (Fís.III 7, 2017b16). Es decir, la potencialidad de toda magnitud es actualizable.


Pero si puede existir en acto, por las razones que hemos explicado más arriba respecto de los cuerpos sensibles, no puede haber magnitud sensible infinita por adición. Es imposible que toda cantidad determinada pueda ser superada. Si ello fuera posible entonces habría algo más grande que el mundo y, como consecuencia, un cuerpo sensible infinito en acto.


En el caso del número, Aristóteles establece que no puede haber infinito por división porque la unidad sustancial es indivisible. El número, entendido como una multiplicidad de unos o de cierta cantidad de ellos, debe detenerse, por tanto, en lo indivisible, –en la unidad sustancial– no pudiendo ser infinito por reducción. Sin embargo, en la dirección del aumento siempre es posible encontrar un número mayor porque toda magnitud, como ya hemos señalado, es infinitamente divisible (Fís.III 7, 207b10-15).


De nuevo puede parecer que nos hemos encontrado con un caso crítico capaz de sustentar la existencia de lo infinito en el cosmos. Sin embargo, Aristóteles advierte que si bien el número es infinito en este sentido, todo lo numerable, es decir, todo aquello que tiene número, si puede ser numerable, entonces debe ser necesariamente finito. Es decir, ciertamente el número es potencialmente infinito pero lo numerado no lo es. Al mismo tiempo, es necesario tener en cuenta que, aunque la serie numérica pueda ser considerada como infinita, no es posible señalar en ella un número particular que sea el infinito mismo. Es decir, al igual que ocurre con la infinita divisibilidad potencial de la magnitud, la infinitud del número tampoco llega nunca a actualizarse.


La tesis aristotélica se mantiene indemne en la medida en que al infinito no se le concede otro modo de realidad que el de ser en potencia.

Para aclarar todavía más este peculiar modo de ser, Aristóteles establece un interesante paralelismo entre el infinito, el ser del día y el de los juegos olímpicos (Fís.III 6, 206a20-25). En los tres casos ocurre que no hay una actualización completa en ningún momento dado sino que constantemente están en proceso de llegar a ser, es decir, tanto el infinito como el día y los juegos olímpicos son o existen en la medida en que en cada fase de la sucesión temporal se verifica la existencia de los elementos –siempre distintos–que componen la serie. Sin embargo, no es posible la verificación efectiva y simultánea de todos y cada uno de los miembros del conjunto. Por tanto, el infinito no puede predicarse, ni en sentido potencial ni en sentido actual de individuos o sustancias sino que sólo puede decirse actualmente de secuencias de cosas o eventos individuales en proceso. De ahí que Aristóteles sostenga que el ser del infinito no es como el del ser de algo que llega a ser una sustancia sino el de algo que está siempre en generación y destrucción, finito en cada caso, pero siempre diferente (Fís.III 6, 206a30).


La diferencia que existe entre los ejemplos del día y los juegos olímpicos con el caso del infinito radica en que en los primeros se habla de series finitas que poseen un primer y último miembro, mientras que el infinito excluye, por definición, la existencia de elementos en la serie que puedan considerarse como tales. Es decir, mientras se produce la sucesión serial en cada fase existen actual y efectivamente sólo algunos de sus miembros mientas que otros no existen o no han llegado a existir, de modo que, en cuanto sucesiva, la serie, además de no poder existir conjuntamente, queda siempre inacabada.


Resulta evidente que la actualidad que Aristóteles le concede al infinito debe ser entendida como limitada exclusivamente al marco de la sucesión temporal. Quedan absolutamente descartadas las posibilidades que contemplan la existencia de conjuntos con un infinito número de miembros que existan simultáneamente –pues, si bien el número es infinito por aumento lo numerado no lo es–, al igual que la existencia de magnitudes infinitamente extensas en el espacio. Propiamente, el infinito sólo se puede predicar del tiempo que, a su vez, es número del movimiento. Por tanto el infinito es un atributo que se predica del aspecto cuantitativo de una de las características definitorias de los objetos de estudio propios de la física. Las cosas sensibles son aquellas que se caracterizan por el movimiento, y la medida de dicho movimiento es el tiempo del cual se predica la infinitud.



Fuente: Minecan. Ana Maria C., Fundamentos de física aristotélica, Ediciones Antígona, 2018.

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